Bir yarışma programına seçildiğinizi düşünün. Bu yarışmanın adı “Hadi bir Anlaşma Yapalım” ve size yepyeni bir Ferrari kazanma şansı veriyor. Tabi ki, bir tuzak var. İçlerinden birinde Ferrari’nin olduğu üç kapalı kapıdan birini seçmek zorundasınız. Oyun çok basit, sadece bir şans oyunu. Yani yarışmacının yeteneğiyle değil, daha çok olasılıkla alakalı bir oyun. Bu oyunu çok özel yapan şey ise, yarışmacıyı kendisine sormaya zorladığı soru: Seçimler sadece rastgele mi yoksa matematik kullanarak sonucu ve yenme şansını manipüle etmek mümkün mü?
Yarışmamızın sunucusu probleme de ismini veren Monty Hall. Yarışmacıya odanın ortasında duran 3 kapalı kapı gösteriyor. Bunların birinin arkasında yepyeni Ferrari, diğer ikisinin arkasında ise bir keçi duruyor. Sadece Monty Hall hangisinin arkasında ne olduğunu biliyor.
Oyun şöyle oynanıyor: Sunucu size rastgele üç kapıdan birini seçmenizi istiyor. Sonra, sizin kapınıza dokunmadan arkasında keçi olduğunu bildiği kapılardan birini açıyor. 2 kapı kapalıyken size eski seçiminize bağlı mı kalmak istediğinizi yoksa diğer kapıyı mı seçtiğinizi soruyor. Ferrari’yi bulmak için sadece bir şansınız var, aksi halde keçiyi alacaksınız.
Bu noktada, karşısına bu soru gelen çoğu yarışmacı ve okuyucunun kafası karışıyor. Cevabı anlamadan önce soruyu anlamak çok önemli. Monty bir kapıyı açtıktan sonra, 2 kapalı kapı kalıyor. Birinin arkasında keçi, diğerinde ise Ferrari var. İlk seçiminize sadık mı kalmalısınız yoksa değiştirmeli misiniz? Ve bunlardan birini yapmak cevabı nasıl etkileyebilir ki?
Bu sorulara cevap vermeden önce bu problemin tarihine de biraz değinmek iyi olur.
İlk olarak bu problem1975’te bioistatistikçi Steve Selvin tarafından “The American Statistician”a gönderilen bir mektupla tanıtılmıştır. Bu problem, 1990’da “Parade Magazine”de, “Marilyn’e Sor” adlı bir köşe yazsısı bölümünde çıkana kadar çok da ilgi görmemiştir.
Bu bölümü özel yapan şey ise, “Marilyn” olarak anılan kişinin o zamanlarda dünyanın en yüksek IQ’suyla tanınan Marilyn Vos Savant olmasıydı.
Savant’ın cevabından sonra, yaklaşık 1000’inin PhD’’si olan 10.000 okuyucu bu cevabın yanlış olduğunu anlatan mektuplar yazmasıyla bu problemin ünü daha da arttı. Bu okuyucuların arasında cevabın doğruluğunu gösteren bir simülasyon gösterilene kadar cevapla tatmin olmayan tanınmış matematikçi Paul Erdos da vardı.
Çözüm:
İlk bakışta, yarışmacının cevabı çok da fark etmiyor gibi geliyor. Kapılardan biri Monty Hall tarafından açıldığı için kazanma şansı 1/2 ve değiştirip değiştirmemeniz çok da bir fark yaratmıyor. Bu bakış açısıyla, neden bu kadar insanın sorunun yanlış olduğuna inandığını anlamak kolay. Tabi ki, yanlış değil.
Cevap, seçiminizi değiştirmenizin her zaman yararınıza olacağı. Peki neden?
Bunu anlatmak için tek yol olasılık. İlk başta 3 kapı olduğu için ilk kararınızda keçilerden birini seçebileceğiniz iki, Ferrari’yi seçebileceğiniz bir olası durum var. Eğer bilmeden Ferrari’yi seçmişseniz ve değiştirirseniz, keçiyi alıyorsunuz. Eğer ilk keçiyi seçip sonra değiştirirseniz, Ferrari’yi alıyorsunuz. Yani, 3 olası durumdan ikisi, size Ferrari’yi kazanma şansı sunuyor. Bu da demek oluyor ki eğer ilk baştaki seçiminizi değiştirmezseniz Ferrari’yi kazanma şansınız 1/3, kararınızı değiştirirseniz de kazanma şansınız 2/3.
Tabi ki, problemin gerçekliğe tam olarak bağlı kalıp kalmadığı tartışılır. Sadece bir şansınız olduğu için her zaman şanssız olup keçiyi almak olası ama seçiminizi değiştirmek, size Ferrari’yi kazanmakta daha büyük bir olasılık sağlıyacaktır.
Bu problem, geçerli bir paradox yani çözüm yanlış gibi gözüküyor ama matematiksel olarak doğru ve kanıtlanabilir.
Monty Hall problemi sizi düşünmeye iten matematiğin güzel bir örneği. Her ne kadar kafa karıştırıcı olsa da, nasıl çözüldüğünü anlamaya çalışmak eğlenceli.
……
Çeviren: İpek Nil Şamcı
Bu yaz, üç dil bilen origami tutkunu ve okulundaki MUN kulübünde hırslı bir münazır olan konuk yazarımız Egemen Tangün tarafından yazıldı, bu 9 Magazine için yazdığı ilk yazı.